時定数とは?求め方や公式について解説

時定数とは、どのくらいの時間で平衡状態に達するかの目安で、電気回路における緩和時間のことを指します。
平衡状態の63.2%に達するまでの時間で定義され、時定数:τは、RC回路ではτ=RC、RL回路ではτ=L/Rで計算されます。

これだけだと少し分かりにくいので、計算式やグラフを用いて分かりやすく解説していきます。

RC回路の時定数

下図のRC回路を考えます。

RC回路

スイッチをオンすると、コンデンサに電荷が溜まっていき、VOUTは徐々にVINに近づきます。

時定数グラフ

VOUT=VINの状態を平衡状態と呼び、平衡状態の63.2%、つまり、VOUT=0.632×VINになるまでの時間を時定数と呼びます。
時定数は記号:τ(タウ)で、単位はs(時間)です。

RC回路におけるコンデンサの充電電圧は以下の公式で表されます。

時定数計算式

RC回路の場合、τ=RCとなるので、

時定数計算式

時間:t=τのときの電圧を計算すると、

時定数計算式

eは自然対数で、e=2.71828… なので、

時定数計算式

tが時定数に達したときに、電圧が平衡状態の63.2%になることが分かります。

時定数の導出

時定数は、コンデンサ充電電圧波形の、t=0における切線と平衡状態の電圧が交わる時間から導出されます。

時定数の導出

コンデンサ充電電圧の式を微分して計算してもいいのですが、電気回路的な視点から考えてみましょう。

t=0での電圧の傾きを考えていることから、t=0での電流でコンデンサを充電し続けた場合、何秒で平衡電圧に達するかを考えることと同じになります。

時定数の導出

時定数の導出
より

時定数の導出

VOUT=VINとなる時間がτとなることから、

時定数導出

となり、τ=RCであることが導出されます。

充電完了までの目安

時定数の何倍の時間で、コンデンサの充電が何%進むかを覚えておけば、充電時間の目安を知ることができます。
先述の計算式

時定数計算式

に、t=3τ、5τ、10τを代入すると、

3τ:95.0%
5τ:99.3%
10τ:99.995%

となり、5τもあれば、ほぼ平衡状態に達することが分かります。

放電回路

今度は、コンデンサが平衡状態まで充電された状態から、抵抗をGNDに接続して放電されるまでの時間を考えます。

放電回路
放電グラフ

放電時のコンデンサの充電電圧は以下の式で表されます。

放電時の時定数計算式

V0はコンデンサの電圧:VOUTの初期値です。
時間:t=τのときの電圧を計算すると、

放電時の時定数計算

tが時定数に達したときに、電圧が初期電圧の36.8%になることが分かります。

RL回路の時定数

下図のRL回路を考えます。

RL回路

スイッチをオンすると、コイルに流れる電流が徐々に大きくなっていき、VIN/Rに近づきます。
I=VIN/Rの状態が平衡状態で、平衡状態の63.2%の電流に達するまでの時間が時定数となります。

RL回路の時定数

RL回路におけるコイル電流は以下の公式で表されます。

RL回路の時定数計算式

時定数の導出

RL回路の時定数は、コイル電流波形の、t=0における切線と平衡状態の電流が交わる時間から導出されます。

RL回路の時定数導出

コイル電流の式を微分して計算してもいいのですが、電気回路的な視点から考えてみましょう。
t=0での電流の傾きを考えていることから、t=0での電圧をコイルに印加し続けた場合、何秒で平衡電流に達するかを考えることと同じになります。

RL回路の時定数導出

コイルに一定電圧を印加し続けた場合の関係式は、

RL回路の計算式

平衡状態の電流:Ieは

RL回路の計算

よって、平衡状態の電流:Ieに達するまでの時間は、

RL回路の時定数導出

となり、τ=L/Rであることが導出されます。

動画で電子回路の基礎を学ぶ

Analogistaでは、電子回路の基礎から学習できるセミナー動画を作成しました。

電子の動きをアニメーションを使って解説したり、シミュレーションを使って回路動作を説明し、直感的に理解しやすい内容としています。

これから電子回路を学ぶ必要がある社会人の方、趣味で電子工作を始めたい方におすすめの講座になっています。

電子回路を動画で学ぶ

【内容】

  • 電気回路の基本法則
  • 回路シミュレータの使い方
  • コンデンサ・コイルとインピーダンス
  • フィルタ回路
  • 半導体部品の基礎
  • オペアンプの基礎

この記事のキーワード

関連記事
アクティブフィルターとは?特徴とメリットとデメリットを解…

アクティブフィルタとは、オペアンプを使ったフィルタ回路です。 パッシブフィルタと違い、フィルタに様々な特性を持たせることができます。 本稿では、アクティブフィルタとパッシブフィルタの違いと、アクティブフィルタの種類について解説していきます。 INDEXアクティブフィルタとパッシブ…

コンデンサの種類と特徴

コンデンサの種類と特徴をまとめました。 種類 容量 極性 周波数特性 ESR セラミックコンデンサ 0.1pF~100μF なし ○ ○ タンタルコンデンサ 0.1μF~1000μF あり △ △ フィルムコンデンサ 1nF~100μF なし ○ ○ アルミ電解コンデンサ 1μF…

バンドパスフィルタ回路の原理と設計計算方法

バンドパスフィルタとは、特定の周波数帯域だけを通過させるフィルタです。 ローパスフィルタとハイパスフィルタを組み合わせたような構成で、目的の周波数以外を除去する用途で使われます。 本稿では、バンドパスフィルタの特徴・特性と計算方法などについて解説していきます。 INDEXバンドパ…

アルミ電解コンデンサの寿命計算、劣化による容量抜けについ…

電子機器の中で、アルミ電解コンデンサは半導体部品に比べ寿命が短く、製品の寿命=電解コンデンサの寿命であることも少なくありません。 アルミ電解コンデンサの寿命は温度による加速が大きいため、周囲温度とリップル電流による発熱が寿命を決める主な要素となります。 INDEX電解コンデンサの…

カットオフ周波数の求め方

カットオフ周波数とは、フィルタ回路において入力信号がそのまま通過する帯域と、減衰される帯域の境目の周波数のことで、ゲインが3dB下がった周波数で定義されます。 カットオフ周波数は、遮断周波数とも呼ばれます。 INDEXカットオフ周波数の計算方法RCフィルタ(一次遅れ系)RLフィル…